História poisťovníctva / Zákon veľkých a malých čísel

Zákon veľkých a malých čísel

Zákon veľkých čísiel

Problematikov pravdepodobnosti ľudského života sa začal zaujímať profesor matematiky v Bazileji, Jacob Bernoulli.

Bernoulliho zlatá teoréma, t.j. zákon veľkých čísiel, má v teórii pravdepodobnosti celkom výnimočné postavenie. Nielenže je to v nejakom zmysle najdôležitejší zákon celej tejto teórie, ale je to zákon bez ktorého by nebola vôbec možná dostatočne rozumná definícia pojmu pravdepodobnosti.

Začiatky teórie pravdepodobnosti spadajú do 16. storočia a týkajú sa hazardných hier. Vtedy sa ľudia naučili vypočítať pravdepodobnosť toho, že v hre Oko alebo Blackjack dostane hráč na ruku 21 bodov, alebo že mu pri hre v kocky padne šestka trikrát po sebe.

Všetky tieto výpočty boli založené na predpoklade, že pravdepodobnosť vytiahnutia karty z balíčka je pre všetky karty rovnaká, a podobne že je rovnaká pravdepodobnosť padnutia ľubovoľného zo šiestich možných čísiel pri hode kockou. Z tohto predpokladu vyplývalo, že pravdepodobnosť vytiahnutia ľubovoľnej konkrétnej karty z balíčka mariášových kariet je 1/32 (v prípade bridžových kariet je to 1/52) a že pravdepodobnosť padnutia ľubovoľného konkrétneho čísla na kocke je 1/6. Z týchto základných pravdepodobností sa potom počítali všetky ostatné.

Na prvý pohľad je to celkom jednoduchá otázka. Hodíme kockou povedzme 1000-krát, a ak nám padne šestka 200-krát, potom povieme, že pravdepodobnosť je 200/1000, čo je vlastne 1/5. Ale to je blbosť. Aj s ideálnou kockou sa nám totiž môže stať, že z tisíc pokusov nám padne dvesto šestiek, a na druhej strane, aj keby bola pravdepodobnosť šestky rovná 1/5, vôbec to neznamená, že nám pri tisícke pokusov musí padnúť šestka presne dvestokrát. To znamená, že na základe takéhoto pokusu nevieme priradiť pravdepodobnosti jednotlivým výsledkom. Lenže, ak to nevieme urobiť takto, tak potom ako sa to vôbec dá urobiť?

Bernoulli definoval pravdepodobnosť pomocou pravdepodobnosti. Uvedomil si totiž, že nech už je pravdepodobnosť padnutia šestky akákoľvek – či už 1/6, alebo 1/5 alebo čokoľvek iné – na základe tejto pravdepodobnosti sa dá vypočítať pravdepodobnosť toho, že z tisícky pokusov padne šestka v nejakom konkrétnom počte prípadov (napríklad 200 alebo akýkoľvek iný počet). Takéto výpočty potom umožňujú klásť si otázky typu: ak padla šestka 200-krát z 1000, o koľko je pravdepodobnejšie, že pravdepodobnosť padnutia šestky je 1/5, než že je to 1/6?

Bernoulli dokázal, že ak sa počet pokusov blíži k nekonečnu, potom s pravdepodobnosťou hraničiacou s istotou je pomer počtu priaznivých prípadov k počtu všetkých prípadov rovný skutočnej pravdepodobnosti daného javu. Práve toto tvrdenie sa volá zákon veľkých čísiel.

Až vďaka tomuto zákonu totiž vieme zisťovať pravdepodobnosti aj v situáciách zložitejších než sú jednoduché hazardné hry. Zisťujeme ich experimentálne a len približne, pričom čím viac pokusov vykonáme, tým presnejšie je naše určenie skúmanej pravdepodobnosti.

Zákon malých čísiel

Predstavme si, že putujeme v hlbokom pustom lese, v ktorom je možné ísť hodiny a hodiny a nestretnúť pri tom živú dušu. Počas niekoľkých dní stretneme trikrát medveďa, raz vlka a to je všetko. Koľkokrát pravdepodobnejšie je stretnúť v danom lese medveďa ako toho druhého?

Drvivá väčšina ľudí je náchylná povedať, že pravdepodobnosť výskytu medveďa v danom lese je trikrát väčšia, ako pravdepodobnosť výskytu vlka. Pomer počtu stretnutí s medveďom k počtu všetkých stretnutí tu interpretujeme ako pravdepodobnosť, ale keďže pracujeme s malými číslami namiesto veľkých, skutočná pravdepodobnosť sa môže od nášho „výsledku“ značne líšiť.

Predstavme si, napríklad, že v danom lese žije len jeden medveď (ktorého sme stretli trikrát). V takom prípade sú pravdepodobnosti stretnúť medveďa a vlka rovnaké, ale pritom vôbec nie je vylúčené, že zo štyroch stretnutí budú tri s medveďom. Také niečo sa môže stať celkom ľahko – pravdepodobnosť tohto javu je 25 %.

Nesprávny odhad pravdepodobnosti môže mať, samozrejme, rôzne neblahé dôsledky, najmä ak sa takýchto nesprávnych odhadov dopúšťame systematicky. Kahneman a Tversky ako prví upozornili na to, že podobné chyby môžu viesť a často aj vedú k nesprávnym kvalitatívnym záverom.

Ak by sme chceli pokračovať v našom príklade s lesom, v ktorom žije len jeden medveď, potom trojnásobné nadhodnotenie pravdepodobnosti výskytu medveďa by mohlo ľahko viesť k záveru o premnožení medveďov v našich lesoch. Ale takýto názor by bol nepodložený a unáhlený (nehovoriac o tom, že na Slovensku je v skutočnosti premnožený vlk).

Kahneman a Tversky si všimli, že neadekvátne úsudky tohto typu sa robia, a to aj vo vedeckom výskume, celkom bežne. Že ľudia často robia intuitívne závery na základe preskúmania príliš malého počtu prípadov. Toto zistenie odštartovalo ich mnoho rokov trvajúci spoločný výskum týkajúci sa psychológie nášho vnímania pravdepodobnosti. Mnohé z Kahnemanových a Tverského objavov boli zaujímavé nielen samy osebe, mimoriadne dôležité boli aj ich dôsledky, napríklad v práve a ekonómii. A práve tieto dôsledky viedli nakoniec až k Nobelovej cene.

A aké z toho plynie ponaučenie? Nuž, asi len také, že čo sa týka pravdepodobnosti, nemali by sme našej intuícii príliš dôverovať. Ale to vlastne nie je nič nové. Ako raz povedal Tversky, väčšina vecí, ktoré s Kahnemanom objavili, bola už dávno predtým dobre známe všetkým reklamným agentom a predajcom ojazdených áut.